Таким образом, получаем уравнение плоскости
Теорема доказана.
Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D
,
заменив
,
получим уравнение плоскости в отрезках:
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.
Уравнение плоскости в векторной форме.
где
- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),
- единичный вектор, имеющий направление,
перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.
a, b и g - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.
p – длина этого перпендикуляра.
В координатах это уравнение имеет вид:
xcosa + ycosb + zcosg - p = 0.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0)
до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и
Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0
параллелен искомой плоскости.
Получаем:
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и
В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор
нормали к этой плоскости 
(A, B, C). Вектор 
(1, 3,
-5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой
имеет вектор нормали 
(1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим
плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то
Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой
плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е.
11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21.