Векторное произведение векторов.

 

            Определение. Векторным произведением векторов и  называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где j - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и  образуют правую тройку векторов.

Обозначается:  или.

 

 

 

 

                                                    

                                                             

                                                                j

                                      

                                                             

Свойства векторного произведения векторов:

 

1) ;

2) , если ïï или = 0 или = 0;

3) (m)´= ´(m) = m(´);

4) ´(+ ) = ´+ ´ ;

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

 

´=

 

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

 

 

            Пример.  Найти векторное произведение векторов  и

.

 = (2, 5, 1);    = (1, 2, -3)

.

 

 

           Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),

С(0, 1, 0).

           

                             (ед²).

 

            Пример. Доказать, что векторы , и  компланарны.

            , т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.

 

            Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

(ед²).