Скалярное произведение векторов.

 

            Определение. Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ïïïïcosj

 

 

            Свойства скалярного произведения:

 

1)      × = ïï²;

2)      × = 0, если ^ или = 0 или  = 0.

3)      × = ×;

4)      ×(+) = ×+ ×;

5)      (m)× = ×(m) = m(×);

 

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

× = x_a x_b +  y_a y_b + z_a z_b;

 

            Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

;

           

Пример.  Найти (5 + 3)(2 - ), если

10×- 5×+ 6×- 3× = 10,

 т.к. .

           

            Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е.  = (1, 2, 3),     = (6, 4, -2)

×= 6 + 8 – 6 = 8:

.

cosj =

 

            Пример.  Найти скалярное произведение (3 - 2)×(5 - 6), если

15×- 18×- 10×+ 12× = 15

+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

 

            Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е.  = (3, 4, 5),     = (4, 5, -3)

×= 12 + 20 - 15 =17 :

.

cosj =

 

            Пример. При каком m векторы  и  перпендикулярны.

 

= (m, 1, 0);      = (3, -3, -4)

.

 

            Пример. Найти скалярное произведение векторов  и , если

()() =

 

= 10 +

 

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.