Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
Составим
матрицы: A = ; B =
; X =
.
Систему уравнений можно записать:
A×X = B.
Сделаем следующее преобразование: A-1×A×X = A-1×B,
т.к. А-1×А = Е, то Е×Х = А-1×В
Х = А-1×В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
Пример. Решить систему уравнений:
Х = , B =
, A =
Найдем обратную матрицу А-1.
D = det A
= 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
M11 = = -5; M21 =
= 1; M31 =
= -1;
M12 = M22 =
M32 =
M13 = M23 =
M33 =
A-1 =
;
Cделаем проверку:
A×A-1 = =E.
Находим матрицу Х.
Х = = А-1В
=
×
=
.
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.