Определение. СЕ называется дополнением множества А относительно множества Е, если А Í Е и CЕ = Е \ A.
A E
Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения:
A \ B Í A; A \ A = Æ; A \ (A \ B) = A Ç B;
A D B = B D A; A D B = (A È B) \ (A Ç B);
A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C); A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C);
(A È B) \ C = (A \ C) È (B \ C); (A Ç B) \ C = (A \ C) Ç (B \ C);
A \ (B \ C) = (A \ B) È (A Ç C); (A \ B) \ C = A \ (B È C);
(A D B) D C = A D (B D C); A Ç (B D C) = (A Ç B) D (A Ç C);
A È CEA = E; A Ç CEA = Æ; CEE = Æ; CEÆ = E; CECEA = A;
CE(A È B) = CEA Ç CEB; CE(A Ç B) = CEA È CEB;
Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера - Вейна.
Из записанных выше соотношений видно, что
Æ
= A \ В
Что и требовалось доказать.
Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера – Вейна
А
В А В
AÇB
Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество.
A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C)
Если некоторый элемент х Î А \ (В È С), то это означает, что этот элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.
Множество А \ В представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.
Множество А \ С предсталяет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.
Множество (A \ B) Ç (A \ C) представляет собой множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.
Таким образом, тождество можно считать доказанным.