Уравнение Бернулли.

 

            Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

 

            Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

            Для этого разделим исходное уравнение на yⁿ.

 

 

Применим подстановку, учтя, что .

 

Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

 

            Пример.  Решить уравнение

 

Разделим уравнение на xy²: 

Полагаем

.

Полагаем

Произведя обратную подстановку, получаем:

 

 

            Пример. Решить уравнение

 

Разделим обе части уравнения на

Полагаем

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

 

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

 

 

Получаем:

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ: