Уравнения с разделяющимися переменными
Определение.
Дифференциальное уравнение 
называется уравнением с разделяющимися
переменными, если его можно записать в виде
.
Такое уравнение можно представить также в виде:
Перейдем
к новым обозначениям 
Получаем:
После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.
Пример.
Найти общее решение дифференциального уравнения: 
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):
- это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.
Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.
- верно
Пример.
Найти решение дифференциального уравнения 
при условии у(2) = 1.
при
у(2) = 1 получаем 
Итого:
или 
- частное решение;
Проверка:
, итого
- верно.
Пример.
Решить уравнение 
-
общий интеграл
-
общее решение
Пример.
Решить уравнение 
Пример. Решить уравнение 
при условии у(1) = 0.
Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см. Интегрирование по частям. ).
Если
у(1) = 0, то 
Итого,
частный интеграл: 
.
Пример.
Решить уравнение 
.
Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных интегралов. п.16. Получаем общий интеграл:
Пример. Решить уравнение 
Преобразуем заданное уравнение:
Получили
общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения
выразить искомую функцию у, то получим общее решение.
Пример.
Решить уравнение 
.
; 
;
Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:
Получаем
частное решение 