Метод Лагранжа.

 

( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик,  през. Берлинской АН,

поч. чл. Пет. АН (1776)).

 

 

Метод Лагранжа  решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом  вариации произвольной постоянной.

 

            Вернемся к поставленной задаче:

 

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

            Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:

.

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С₁ некоторой функцией от х.

            Тогда по правилам дифференцирования произведения  функций получаем:

 

Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

 

 

 

Из этого уравнения определим  переменную функцию С₁(х):

Интегрируя, получаем:

            Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:

 

.

            Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.

           

            При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений  следует руководствоваться  простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

 

            Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним  результаты.

 

 

            Пример.  Решить уравнение

 

Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:

Применим полученную выше формулу: