Метод Бернулли.

 

(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)

 

            Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций  .

            При этом очевидно, что  - дифференцирование по частям.

 

            Подставляя в исходное уравнение, получаем:

            Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

            Например, функция  может быть представлена как

 и т.п.

            Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение .

            Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

 

 

 

            Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение  с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

 

            Интегрируя, можем найти функцию v:

;             ;

            Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.

            Подставляя полученные значения,  получаем:

 

 

            Окончательно получаем формулу:

,     С₂ - произвольный коэффициент.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения  в общем виде по способу Бернулли.