Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

 

            По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

 

            Определение. Каждый ненулевой вектор (a₁, a₂), компоненты которого удовлетворяют условию Аa₁ + Вa₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

 

            Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

 

            Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1×A + (-1)×B = 0, т.е.   А = В.

 

            Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.

 

            при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

 

 

Уравнение прямой в отрезках.

 

            Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или

, где

            Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

 

            Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

 

            С = 1, ,       а = -1,   b = 1.

 

 

Нормальное уравнение прямой.

 

            Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosj + ysinj - p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

            Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

 

            Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой:

 

;          cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

            Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

 

            Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см².

 

Уравнение прямой имеет вид: ,           a = b = 1;     ab/2 = 8;          a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого:    или х + у – 4 = 0.

 

            Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

 

Уравнение прямой имеет вид: , где х₁ =  у₁ = 0;  x₂ = -2; y₂ = -3.