Уравнение линии на плоскости.

 

            Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

 

            Определение. Уравнением линии  называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

 

            Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.

            Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

 

Уравнение прямой на плоскости.

 

            Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

 

            В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

-         C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

-         А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

-         В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

-         В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

-         А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

 

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Расстояние от точки до прямой.

 

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

 

            Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁:

                                                                                                (1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀ перпендикулярно заданной прямой.

            Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

.

 

Теорема доказана.

 

            Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7;  y = 2x + 1.

 

K₁ = -3;   k₂ = 2          tgj = ;   j = p/4.

 

            Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

 

            Находим: k₁ = 3/5,    k₂ = -5/3,  k₁k₂ = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

 

            Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

 

            Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

            Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

            Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.