Смешанное произведение векторов.

 

            Определение. Смешанным произведением векторов ,  и  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор, равный векторному произведению векторов  и .

            Обозначается или (, ,).

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ,  и .

                            

 

 

 

 

                                              

 

 

                                                          

                                                          

 

                                  

      

 

 

 

 

 

Свойства смешанного произведения:

 

            1)Смешанное произведение равно нулю, если:

                        а)хоть один из векторов равен нулю;

                        б)два из векторов коллинеарны;

                        в)векторы компланарны.

            2)

            3)

            4)

            5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами ,  и , равен

            6)Если , , то

 

            Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Найдем координаты векторов:

Найдем смешанное произведение полученных векторов:

,

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

 

            Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

 

Найдем координаты векторов:

Объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

S_осн = (ед²)

Т.к. V = ;     (ед)