Определение.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

 

            Определение. Если   - базис в пространстве и  , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора  в этом базисе.

 

В связи с этим можно записать следующие свойства:

 

-         равные векторы имеют одинаковые координаты,

 

-         при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

 

= .

 

-         при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

 

;                                       ;

 + = .

 Система координат.

 

            Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

 

Декартова система координат.

 

            Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.

Вектор  назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

 

            Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс

2-я ось – ось ординат

3-я ось – ось апликат

            Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x₁, y₁, z₁),   B(x₂, y₂, z₂), то = (x₂ – x₁, y₂ –  y₁, z₂ – z₁).

 

            Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

 

            Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

 

            Пример. Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы ,  и  образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе.

            Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если  уравнения, входящие в систему:

           линейно независимы.

Тогда .

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

    Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

 

 

 

D₁ =

;

D₂ =

 

D₃ =

Итого, координаты вектора в базисе , , :    { -1/4, 7/4, 5/2}.

 

            При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно запустить программу, которая позволит разложить любой вектор по любому новому базису, т.е. решить предыдущий пример для любых векторов , , , .