Полярная система координат.

 

            Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

 

            Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

 

 

                                                                                              М

 

 

                                                                 r

                                                                                                          r =

 

                                                    j

                                      0

                                                                                                          l

            Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

            Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcosj;       y = rsinj;      x² + y² = r²

 

           

 

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

 

            Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: ;

            Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль оси Ох на 1/2 вправо, большая полуось a равна 3/2, меньшая полуось b равна , половина расстояния между фокусами равно с = = 1/2. Эксцентриситет равен е = с/a = 1/3. Фокусы F₁(0; 0) и F₂(1; 0).

                                                           y

 

                                                  

 

 

 

                                                           F₁                   F₂

                                   -1                    0         ½         1                       2                           x

 

 

 

                                                    -

 

 

            Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

 

            Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову прямоугольную системы координат.

 

 

            Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c² = a² + b² ; c = 5;   e = c/a = 5/4.

            Фокусы F₁(-10; 0), F₂(0; 0).

 

            Построим график этой гиперболы.

 

 

                                                                                                   y

 

 

 

                                                                                              3

 

 

 

 

                                F₁       -9                -5                   -1       0   F₂                                     x

 

 

                                                                                            -3