Уравнение линии в пространстве.

 

            Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

 

F(x, y, z) = 0.

 

            Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

            Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

            Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

            Тогда пару уравнений

назовем уравнением линии в пространстве.

 

 

Уравнение прямой в пространстве по точке и

направляющему вектору.

 

            Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой.

            На прямой возьмем две произвольные точки М₀(x₀, y₀, z₀) и M(x, y, z).

 

                                                                        z

 

                                                                                                         M₁

                                                                                                         

                                                                                M₀

 

                                                                                            

 

                                                                              0                                                y

 

 

 

                                               x

 

            Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что -  = .

Т.к. векторы   и  коллинеарны, то верно соотношение = t, где t – некоторый параметр.

            Итого, можно записать: =  + t.

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

            Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

            Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

.

            Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

;    .

           

Отсюда получим: m : n : p = cosa : cosb : cosg.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

 

 

 

Уравнение прямой в пространстве, проходящей

через две точки.

 

            Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

.

            Кроме того, для точки М₁ можно записать:

.

            Решая совместно эти уравнения, получим:

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

 

 

Общие уравнения прямой в пространстве.

 

            Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

            Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:

×+ D = 0, где

- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.

            Пусть в пространстве заданы две плоскости: ×+ D₁ = 0 и ×+ D₂ = 0, векторы нормали имеют координаты: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂); (x, y, z).

 

            Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

 

            Общие уравнения прямой в координатной форме:

 

 

            Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.

            Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.

 

            При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

 

            Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

 

            Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

, т.е. А(0, 2, 1).

 

            Находим компоненты направляющего вектора прямой.

            Тогда канонические уравнения прямой:

 

 

Пример.  Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

 

            Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:

;

2x – 9x – 7 = 0;

x = -1; y = 3;

            Получаем: A(-1; 3; 0).

Направляющий вектор прямой: .

 

Итого: