Асимптоты.

 

            При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

 

            Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

 

            Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

 

            Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

 

 

 

           

 

            Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

 

Вертикальные асимптоты.

 

            Из определения асимптоты следует, что если или  или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

 

            Например, для функции  прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

 

Наклонные асимптоты.

 

            Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

 

 

M

 

                                                                       j

 

                                                                        N        

                                                        j                        P

                                                                                             

                                                                            Q

            Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.

 

            Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ =  - ордината точки N на асимптоте.

 

            По условию: ,     ÐNMP = j,   .

Угол j - постоянный и не равный 90⁰, тогда

 

 

Тогда   .

 

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

 

            В полученном выражении выносим за скобки х:

 

Т.к. х®¥, то , т.к.  b = const, то .

 

Тогда ,   следовательно,  

.

 

Т.к. , то  , следовательно,

 

            Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

 

            Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥    x®0-0:      y®-¥     x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

 

2) Наклонные асимптоты:

 

 

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

 

 

 

 

Построим график функции:

 

 

            Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

 

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

 

           

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

Прямая  х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

 

Найдем наклонные асимптоты.

 

 

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.