Дифференциал функции.

 

            Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать:   , где a®0, при Dх®0.

Следовательно:     .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

 

            Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

            Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что  dy = f¢(x)Dx  или

dy = f¢(x)dx.

 

Можно также записать:

 

 

 

 

 

 

Геометрический смысл дифференциала.

 

                                                           y

                                                                                                          f(x)

                                                                                           K

                                                                                                                           dy

                                                                                  M               Dy

                                                                                              L

                                                                                             

 

 

                                                                     a

                                                                                    x         x + Dx                  x   

 

 

 

 

            Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

 

Свойства дифференциала.

 

            Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

 

1)      d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

 

2)      d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

 

3)      d(Cu) = Cdu

 

4)