Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

 

 

            Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

 

                                                    у

                                                                                              f(x)

 

                                              

                                         f(x₀ +Dx)                                       P

                                                           Df

                                               f(x₀)                   M

                                              

                                                   a                b            Dx     

                                                      0                     x₀         x₀ + Dx                   x

 

 

 

 

            Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

 

            Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

            Уравнение касательной к кривой:  

            Уравнение нормали к кривой: .

 

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

            Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

            Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

 

Односторонние производные функции в точке.

 

 

            Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х₀ называется правое (левое) значение предела отношения  при условии, что это отношение существует.

 

                             

 

            Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х₀, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х₀,  а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х₀, она может быть в ней не дифференцируема.

 

            Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна  в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

 

            Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

            Понятно, что это условие не является достаточным.

 

Основные правила дифференцирования.

 

            Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

 

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3), если v ¹ 0

 

            Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

 

 

Производные основных элементарных функций.

 

                                 1)С¢  = 0;                                              9)

                                 2)(x^m)¢ = mx^m-1;                                     10)

                                 3)                                                11)

                                  4)                                                12)

                                  5)                                         13)

                                   6)                                14) 

                                   7)                                      15)

                                   8)                            16)