Непрерывность функции в точке.
Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот
же факт можно записать иначе: 
Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Пример непрерывной функции:
y
f(x0)+e
f(x0)
f(x0)-e
0 x0-D x0 x0+D x
Пример
разрывной функции:
y
f(x0)+e
f(x0)
f(x0)-e
x0 x
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию
верно
неравенство
.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
f(x) = f(x0) + a(x)
где a(х) – бесконечно малая при х®х0.
1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.
2) Частное двух непрерывных функций 
– есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю
в точке х0.
3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Это свойство может быть записано следующим образом:
Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.
Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.
Непрерывность некоторых элементарных функций.
1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.
2) Рациональная функция 
непрерывна для всех значений х, кроме
тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого
вида непрерывна на всей области определения.
3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.
Докажем свойство 3 для функции y = sinx.
Запишем приращение функции Dy = sin(x + Dx) – sinx, или после преобразования:
Действительно,
имеется предел произведения двух функций 
и 
. При этом функция
косинус – ограниченная функция при Dх®0 
, а т.к.
предел
функции синус 
, то она является бесконечно малой при Dх®0.
Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция Dу – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.
Аналогично можно доказать непрерывность остальных тригонометрических функций на всей области определения.
Вообще следует заметить, что все основные элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.
Непрерывность
функции на интервале и на отрезке.
Определение.
Функция f(x) называется непрерывной
на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала
(отрезка).
При этом не требуется непрерывность функции на концах
отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах
отрезка или интервала.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Свойство 1:
(Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий
математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е.
на отрезке [a, b] выполняется условие –M £ f(x) £ M.
Доказательство
этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х0,
ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на
бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х0,
то образуется некоторая окрестность точки х0.
Свойство 2: Функция,
непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее
значения.
Т.е.
существуют такие значения х1 и х2, что f(x1) = m, f(x2) = M, причем
m £ f(x) £ M
Отметим
эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и
несколько раз (например – f(x) = sinx).
Разность
между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.
Свойство 3:
(Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b],
принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.
Свойство 4: Если
функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то
существует некоторая окрестность точки х0,
в которой функция сохраняет знак.
Свойство 5:
(Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная
на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения
противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.
Т.е. если sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $ х0: f(x0) = 0.
Определение. Функция
f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b],
если для любого e>0 существует
D>0 такое,
что для любых точек х1Î[a,b] и x2Î[a,b] таких,
что
ïх2
– х1ï< D
верно неравенство ïf(x2) – f(x1)ï < e
Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что
для любого e
существует свое D, не
зависящее от х, а при “обычной” непрерывности D зависит от e и х.
Свойство 6:
Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция,
непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
(Это свойство справедливо
только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)
Пример.
Функция непрерывна на
интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует
такое число D>0 такое, что существуют
значения х1 и х2 такие, чтоïf(x1) – f(x2)ï>e, e - любое
число при условии, что х1 и х2 близки к нулю.
Свойство 7:
Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором
промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже
однозначна, монотонна и непрерывна.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и
определить тип точек разрыва, если они есть.
в точке х = -1 функция
непрерывна в точке х = 1
точка разрыва 1 – го рода
у
3
2
-4 -1 0
1 х
Пример. Исследовать
на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.
в точке х = 0 функция
непрерывна в точке х = 1
точка разрыва 1 – го рода
у
2
1
-p -p/2 0
1
x