Бесконечно малые функции.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .
Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .
Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x) = A + a(x),
где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).
Свойства бесконечно малых функций:
1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.
4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.
Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где
, тогда
f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)
A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где
, тогда
A×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит
Теорема доказана.
бесконечно малыми.
Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство
ïf(x)ï>M
выполняется при всех х, удовлетворяющих условию
0 < ïx - aï < D
Записывается .
Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим:
а если заменить на f(x)<M, то:
Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:
a x a x a x
Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.
Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.
Теорема. Если f(x)®0 при х®а (если х®¥ ) и не обращается в ноль, то
Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.
Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.