Числовая последовательность.

 

            Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность

x_1, х₂, …, х_n = {x_n}

 

            Общий элемент последовательности является функцией от n.

x_n = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

 

            Пример. {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

                           {x_n} = {sinpn/2} или {x_n} = 1; 0; 1; 0; …

 

Для последовательностей можно определить следующие операции:

 

1)      Умножение последовательности на число m: m{x_n} = {mx_n}, т.е. mx₁, mx₂, …

2)      Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n} ± {y_n}    = {x_n ± y_n}.

3)      Произведение последовательностей: {x_n}×{y_n} = {x_n×y_n}.

4)      Частное последовательностей:  при {y_n} ¹ 0.

 

 

Ограниченные и неограниченные последовательности.

 

            Определение. Последовательность {x_n} называется  ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

 

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

 

            Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

 

x_n £ M.

 

            Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

 

x_n ³ M

 

            Пример. {x_n} = n – ограничена снизу  {1, 2, 3, … }.

 

 

            Определение. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

 

Это записывается:    lim x_n = a.

            В этом случае говорят, что последовательность {x_n}сходится к а при n®¥.

 

            Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

 

            Пример.  Доказать, что предел последовательности lim .

 

Пусть при n > N верно , т.е.  . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

 

            Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3,  имеет пределом число 2.

 

            Итого: {x_n}= 2 + 1/n;    1/n = x_n – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {x_n} = 2.

 

            Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

 

            Доказательство. Предположим, что последовательность {x_n}имеет два предела a и b, не равные друг другу.

x_n ® a; x_n ® b;    a ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

 

 

            Теорема. Если x_n ® a, то .

 

            Доказательство. Из x_n ® a следует, что . В то же время:

 

, т.е.    , т.е. . Теорема доказана.

 

 

            Теорема.  Если x_n ® a, то последовательность {x_n} ограничена.

 

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

 

            Например, последовательностьне имеет предела, хотя