Основные понятия теории множеств.
Определение. Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых объектов а, которые называются элементами множества.
а Î М
Множество можно описать, указав какое – нибудь свойство, присущее всем элементам этого множества.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обзначается Æ.
Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.
А
В
А Ì В
Определение. Если А Í В, то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом А ¹ В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А Ì В.
Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения.
Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:
Здесь знак Ù обозначает конъюнкцию (логическое “и”).
Определение. Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одномк из множеств А и В.
Обозначается С = А È В.
А
В
Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна.
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.
Обозначение С = А Ç В.
А С В
Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства:
А Ç А = А È А = А; A È B = B È A; A Ç B = B Ç A;
(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C); (A È B) È C = A È (B È C);
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C); A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C);
A È (A Ç B) = A; A Ç (A È B) = A;
Æ = А; A Ç Æ = Æ;
Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.
Обозначается С = А \ В.
А В
Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В.
Обозначается А D В.
А D В = (A \ B) È (B \ A)
A B