Метод Гаусса.

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

 

            В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

            Рассмотрим систему линейных уравнений:

 

 

            Разделим обе части 1–го  уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения

                                     и т.д.

 

 

Получим:

,   где d_1j = a_1j/a₁₁,  j = 2, 3, …, n+1.

 

d_ij = a_ij – a_i1d_1j         i = 2, 3, … , n;       j = 2, 3, … , n+1.

 

            Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

 

            Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

 

Составим расширенную матрицу системы.

 

А* =

 

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

 

, откуда получаем:  x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

 

 

 

            Пример. Решить систему методом Гаусса.

 

Составим расширенную матрицу системы.

 

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

 

, откуда получаем:  z = 3; y = 2; x = 1.

            Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

 

            Для самостоятельного решения:

                        Ответ: {1, 2, 3, 4}.