Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения l  поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности.

Свойства поверхностного интеграла первого рода.

 

Поверхностные интегралы первого рода обладают следующими свойствами:

 

            1)    S – площадь поверхности.

 

            2)

 

            3)

 

            4) Если поверхность разделена на части S₁ и S₂, то

 

            5) Если  , то

 

            6)

 

            7) Теорема о среднем.

            Если функция F(x, y, z) непрерывна в любой точке поверхности S, то существует точка (a, b, g) такая, что

            S – площадь поверхности.

 

            Проведя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при нахождении криволинейного интеграла, получим формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода через двойной интеграл по по площади проекции поверхности на плоскость XOY.

 

 

Поверхностные интегралы второго рода.

 

            Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не пересекающий границу поверхности контур, при обходе по которому направление нормали в точке меняется на противоположное, то такая поверхность называется односторонней.

            Если при этих условиях направление нормали не меняется, то поверхность называется двухсторонней.

Будем считать положительным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается слева.

            Двухсторонняя поверхность с установленным положительным направлением обхода называется ориентированной поверхностью.

 

            Рассмотрим в пространстве XYZ ограниченную двухстороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан либо уравнением вида z = f(x, y), либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

            Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.

 

         

- поверхностный интеграл второго рода.